Question

17．已知△ABC为边长为6的等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE=x，连接
DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF．
（1）求证：△AEF为等边三角形；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）记△CEF的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠ACB=60°，根据对顶角相等和等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（3）①根据等边三角形的性质分别求出S_△CDF和S_△CDE，计算求出S与x的函数关系式；
②根据二次函数的性质求出S有最大值时x的值，根据垂直的定义判断即可．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，
∠AEF=60°，又AE=EF，
∴△AEF为等边三角形；
（2）∵∠FAC=60°，
∴∠FAC=∠ACB=60°，
∴AF∥BC，
∵∠CED=∠CAB=60°，
∴AB∥BF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）①作AH⊥BC于H，
∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AH=3$\sqrt{3}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$×CD×AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
∵△CDE为等边三角形，CD=x，
∴S_△CDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∴△CEF的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²；
②CF⊥BC．
x=-$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}}$=3时，S最大，
∴CD=CE=3，
∵△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=CE=3，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3，
∴∠CDE=∠ECD，
∠ECF=∠EFC，
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，
∴2∠ECD+2∠ECF=180°，
∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，
∴CF⊥BC．

点评 本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及垂直的定义，灵活运用相关的定理和性质、掌握等边三角形的三个角都是60°、三条边都相等是解题的关键．