Question

7．如图，抛物线y₁=-x2+a与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点C（2，-3）在抛物线y₁的图象上，连接AB，OC．
（1）求抛物线y₁的函数表达式；
（2）若点P在x轴上，且∠CPA=∠OBA，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将抛物线y₁沿x轴向右平移后得抛物线y₂，且抛物线y₂的图象过点C．
①请直接写出抛物线y₂的函数表达式；
②点Q在抛物线y₂的图象上，且△OCQ是以OC为底边的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解；
（3）①根据抛物线平移的性质即可求得；②已知了等腰三角形是以OC为底边的等腰三角形，因此Q点必为OC的垂直平分线与抛物线y₂的交点，可先求出OC的垂直平分线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出符合条件的Q点的坐标．

解答 解：（1）∵点C（2，-3）在抛物线y₁的图象上，
∴-3=-2²+a，解得a=1，
∴抛物线y₁的函数表达式y₁=-x²+1，
（2）x=0时，y=1，
y=0时，-x²+1=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以，点A（1，0），B（0，1），
∴∠OBA=45°，
∵点C的坐标为（2，-3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴点P在点A的左边时，坐标为（-1，0），
在点A的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P的坐标为（-1，0）或（5，0）；
（3）①∵点C（2，-3）关于y轴的对称点为（-2，-3），
∴抛物线y₁沿x轴向右平移4个单位后得抛物线y₂，且抛物线y₂的图象过点C，
∴抛物线y₂的函数表达式为y=-（x-4）²+1；
②点Q应在线段OC的垂直平分线上，由题意可知，QR⊥OC且平分OC，
∴点P在直线QR上．
∵C（2，-3），
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，R（1，-$\frac{3}{2}$）
∴OR=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△ORS∽△OEC，
∴$\frac{OS}{OC}$=$\frac{OR}{OE}$，即$\frac{OS}{\sqrt{13}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{3}$，
∴OS=$\frac{13}{6}$，
∴S（0，-$\frac{13}{6}$）
∴直线QR的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{13}{6}$，
又点Q是直线y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{13}{6}$与抛物线y=-（x-4）²+1的交点，
故可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-4）^{2}+1}\\{y=\frac{2}{3}x-\frac{13}{6}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{22+\sqrt{22}}{6}}\\{{y}_{1}=\frac{5+2\sqrt{22}}{18}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{22-\sqrt{22}}{6}}\\{{y}_{2}=\frac{5-2\sqrt{22}}{18}}\end{array}\right.$；
故符合条件的点Q的横坐标为$\frac{22+\sqrt{22}}{6}$或$\frac{22-\sqrt{22}}{6}$．

点评 本题着重考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、图形平移变换、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质等重要知识点，求得二次函数的解析式以及平移后的解析式是本题的关键，（3）通过三角形相似求得S的坐标进而求得解析式是本题的难点．