Question

18．如图PA、PB分别切⊙O于点A、B，线段PO交⊙O于点D，AO的延长线交⊙O于点C，过点P作PM∥AC交CB的延长线于点M．
（1）求证：四边形POCM是平行四边形；
（2）若△PAB为等边三角形，判断点A、D、M是否在同一条直线上并说明理由；
（3）若线段PA、PD长是方程x²-6x+8=0的两个根，求平行四边形POCM的面积．

Answer 1

分析 （1）利用切线长定理，得出PO⊥AB，即可得出PO∥MC，结论得证；
（2）先判断出∠ADC=90°，利用平行四边形和圆的性质求出∠MDC=90°，即可得出结论；
（3）先解方程求出PA，PD，再用切割线定理求出圆的半径，进而用等面积法求出AF，即可得到平行四边形的PO边上的高，最后用面积公式即可．

解答 解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，线段PO交⊙O于点D，
∴PO⊥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ABM=90°，
∴PO∥MC，
∵PM∥AC，
∴四边形POCM是平行四边形；
（2）在，
理由：如图，连接AD，CD，DM，
∵△PAB为等边三角形，
∴∠APO=30°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOD=60°，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
∠OCD=30°，
∵OA=OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∵AC∥PM，
∴∠OPM=∠AOD=60°
∵PO∥MC，
∴∠DCM=∠ODC=30°，
在Rt△AOP中，∠APO=30°，
∴PO=2OA=2OD=2OC，
∴PD=OC，
由（1）知，四边形POCM是平行四边形，
∴∠POC=∠PMC=120°，OC=CM，
∴PD=CM，
∴∠PMD=∠PDM=60°，
∴∠DMC=60°，
∴∠DMC+∠DCM=60°+30°=90°，
∴∠CDM=90°，
∵∠ADC=90°，
∴点A、D、M在同一条直线上．
（3）如图1，
∵线段PA、PD长是方程x²-6x+8=0的两个根，
∴PA=4，PD=2，
根据切割线定理得，PA²=PD（PD+AC），
∴16=2（2+AC），
∴AC=6，
∴OA=OD=3，
∴PO=PD+OD=5，
根据等面积法得，PA×OA=AF×PO，
∴4×3=AF×5，
∴AF=$\frac{12}{5}$，
∴S_{平行四边形POCM}=PO×BF=PO×AF=5×$\frac{12}{5}$=12．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，等边三角形的性质，平行四边形的判定，三点共线，切割线定理，判断出点A，D，M三点共线，是一道中等难度的中考常考题．