已知x和y是正整数,且满足条件xy+x+y=71,x2y+xy2=880,求x2+y2的值.
解:设a=x+y,b=xy,于是
a+b=71,ab=880,
构造以a、b为二根的一元二次方程
t2-71t+880=0,
解得t=16或t=55,
∴a=16,b=55或a=55,b=16,
即x+y=16,xy=55或x+y=55,x·y=16,
于是x、y为一元二次方程
m2-16m+55=0①或n2-55n+16=0②的两个正整数根,
解①得m=5或m=11,
即x=5,y=11或x=11,y=5
方程②无整数解.
∴x2+y2=52(或112)+112(或52)=146.
分析:直接不易求出x、y的值.但经观察发现已知二等式分别为xy与x+y的和,xy与x+y的积,先换元构造一元二次方程,整体求得x+y、xy,再构造以x、y为根的一元二次方程,解出x、y,问题便可获解.
点评:巧妙换元,创造了构造一元二次方程的条件,为解题打开了方便之门.
科目:初中数学 来源:2012-2013学年湖北省黄冈市罗田县胜利中学九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2003年贵州省遵义市绥阳县第14届科教文竞赛数学试卷(解析版) 题型:解答题
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