Question

2．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）问题发现：当θ=0°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；当θ=180°时，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）拓展探究：试判断当0°≤θ＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，若AB=2，利用探究出的结论求出线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，设AB=1，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的$\frac{AE}{BD}$值是多少；
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{DB}$的值是多少即可；
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．

解答 解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+（2AB）^{2}}$=$\sqrt{5}$AB，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$BC=AB，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}AB}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
②如图1，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$$\frac{\sqrt{5}AB}{2AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．故答案为：①$\frac{\sqrt{5}}{2}$，②$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{DB}$的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（3）①如图3，∵AB=2，则BC=4，AC=2$\sqrt{5}$，CD=AD=2，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AE=AD+DE=5，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$；
②如图4，∵AC=2$\sqrt{5}$，CD=2，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AE=AD-DE=4-1=3，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$AE=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×3=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
综上所述，BD的长为：2$\sqrt{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．