Question

（2012•黄陂区模拟）如图，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC边为直径作⊙O，交AD于E．过E作⊙O的切线EB，交CD于B．连接EC、AB，交于F点．
（1）求证：EB=

1

2

CD；
（2）若

EF

FC

=

1

3

，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角可得∠AEC=90°，再根据切线的判定可证明CB为圆的切线，再根据切线长定理即可证明BE=

1

2

CD；
（2）连接OB，交EC于G，设BG=AE=2x，利用条件证明AE∥BG，进而证明△AEF∽△BGF，利用相似三角形的性质和直角三角形的性质即可求出tan∠ABC的值．

解答：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴CB是⊙O的切线，
又EB是⊙O的切线，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
可得∠DEB=∠D．
∴BE=BD，
∴BE=

1

2

CD；

（2）解：连接OB，交EC于G．
可得OB⊥EC，EG=CG．
∴AE∥BG．
∵

EF

FC

=

1

3

，可得EF=FG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，得BG=AE，
设BG=AE=2x，
∴OG=x．
∵CG⊥OB，∠OCB=90°，
可得OC=

3

x，BC=

6

x．
在Rt△ACB中，∵AC=2OC=2

3

x，BC=

6

x．
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

2 3 x

6 x

=

2

．

点评：本题综合性的考查了圆周角定理，切线的判定和性质切线长定理以及等腰三角形的判断和性质和相似三角形的判断和性质以及锐角三角函数，题目的难度不小．