Question

已知二次函数y=x²+2mx-n²．
（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值；
（2）若m、n变化时，这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据题意把点（1，1）代入二次函数式中，求出m的值，再用m和n+4进行相减，然后进行讨论即可求出答案．
（2）根据已知条件，设出三点的坐标，然后x₁与x₂相乘，再分别进行讨论即可求出答案．

解答：解：（1）由二次函数过点（1，1），
得m=

n2

2

，
∴m-（n+4）=

n2

2

-（n+4），
=

1

2

（n2-2n-8），
=

1

2

（n-4）（n+2），
∴P=

n2

2

，n≤-2或n≥4；
P=n+4，-2＜n＜4，
再利用函数图象可知，当n=-2时，Pmin=2；

（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，
可设交点坐标为A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-n²）．
又x₁x₂=-n²，
若n=0，则与三个交点不符，
故x₁x₂=-n²＜0．
所以，x₁、x₂在原点左右两侧．
又|x₁x₂|=n²×1，
所以，存在点P0（0，1）使得|OA|•|OB|=|OP0|•|OC|．
故A、B、C、P0四点共圆，即这些圆必过定点P0（0，1）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用问题，在解题时要根据已知条件，分别进行讨论是解题的关键．