Question

某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．
①试问该经营业主有哪几种进货方案？
②设该业主计划购进空调t台，这两种电器销售完后，所获得的利润为W元、求W关于t的函数解析式，并利用函数的性质说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元，根据购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元可以列出方程组

8x+20y=17400 10x+30y=22500

，解方程组即可求出结果；
（2）①设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇（70-t）台，根据购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元可以列出不等式组

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，解不等式组即可求出哪几种进货方案．
②设这两种电器销售完后，所获得的利润为W，则根据已知条件可以列出W与t的函数关系式，利用函数的性质和①的结果即可求出哪种方案获利最大，最大利润是多少．

解答：解：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元
依题意，得

8x+20y=17400 10x+30y=22500

解得

x=1800 y=150

即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；

（2）①设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇（70-t）台，
依题意得

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，
解得：8

4

17

≤t≤11

9

11

，
∵t为整数，
∴t为9，10，11，
故有三种进货方案，分别是：
方案一：购进空调9台，电风扇61台；
方案二：购进空调10台，电风扇60台；
方案三：购进空调11台，电风扇59台．
②设这两种电器销售完后，所获得的利润为W，
则W=200t+30（70-t）=170t+2100，
由于W随t的增大而增大．
故当t=11时，W有最大值，W_最大=170×11+2100=3970，
即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元．

点评：此题分别考查了二元一次方程组、不等式组、一次函数的性质等知识，综合性比较强，能力要求比较高，平时要求学生多注意这些烦恼的训练．