Question

【题目】如图，是的直径，交于点，是的中点，与交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）已知，，

①求的长；

②求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①BC=9；②DF=2．

【解析】

（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ABC中，根据cosC=，可得AC=6；

②作FH⊥AB于H，由BD=BC-CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5-x，根据cos∠BFH=cos∠C=，构建方程即可解决问题；

（1）证明：连结AD，如图，

∵E是的中点，

∴ =，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切线.

（2）①在Rt△ACB和Rt△ACD中，

∵cosC==，AC=6，

∴BC=9．

②作FH⊥AB于H，

∵∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

设FB=x，

∵BD=BC﹣CD=9-4=5，

∴DF=FH=BD-BF=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，

∵cos∠BFH=cos∠C== ，

∴= ，

解得:x=3，

经检验，x=3符合题

∴BF的长为3，

∴DF=5-3=2