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    已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    （1）在抛物线y=x2+px+q中，
    当x=0时，y=q．即：C点的坐标为（0，q）．
    因为：OA=OC，D点与A点关于y轴对称．
    所以：A点的坐标为（q，0）；D点的坐标为（-q，0）．
    将A（q，0）代入y=x2+px+q中得：0=q2+pq+q
    即：q（q+p+1）=0
    所以：q=0，（不符合题意，舍去．）
    q+p=-1 ①
    现在求点P的坐标，即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
    横坐标：-
    p
    2
    ；纵坐标：
    4q-p2
    4
    ，
    设直线CD的方程为y=kx+b
    因为直线CD过C（0，q）、D（-q，0）两点，所以有方程组
    q=b，0=-qk+b．
    解得：k=1，b=q．
    所以直线CD的解析式为：y=x+q．
    因为点P在直线CD上，
    所以
    4q-p2
    4
    =-
    p
    2
    +q
    解得：p=0（不符合题意，舍去）
    p=2 ②
    又已经求得的①、②两等式得：p=2，q=-3．
    因此；p、q的值分别为 2和-3．

    （2）∵p=2，q=-3．
    ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
    A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
    直线CD的方程式为y=x-3，
    设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
    y=x+b（因两直线平行，所以一次项系数相等）
    因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
    所以：直线AQ的方程为：y=x+3
    下面求直线AQ（y=x+3）与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标：
    解方程组y=x2+2x-3，y=x+3．得x1=2，y1=5；x2=-3，y2=0．
    即：两交点为A（-3，0）；Q（2，5）．
    下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离：从图形可知
    |AQ|=5
    		2
    ，|PD|=4
    		2
    ，
    所以|AQ|≠|PD|
    这说明AQ与PD不相等，所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点．

    （3）存在E点，且E点坐标为（9，6）．
    具体求解过程如下：
    设E点是直线PC上的点，且满足AE垂直AP
    求直线AP的方程，设直线AP的方程为y=kx+b
    因为A（-3，0），P（-1，-4）两点在直线AP上，所以有方程组
    0=-3k+b，-4=-k+b．解得：k=-2，b=-6．
    所以直线AP的方程式为：y=-2x-6
    因为直线AE垂直直线AC，所以两直线一次项系数之积等于-1
    所以，设直线AE方程式为y=
    1
    2
    x+b
    A（-3，0）点在直线AE上，所以b=
    3
    2
    ，
    所以直线AE的方程式为y=
    1
    2
    x+
    3
    2
    ，
    直线AE与直线CD相交于E点，解两直线方程组成的方程组得：x=9，y=6．
    即E点的坐标为（9，6）．
    在三角形ACD中，因为OA=OD=OC，AD垂直CO，
    所以∠ACD是直角，
    在直角三角形APE中，AC是斜边PE上的高，
    所以△APC∽△EPA．
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    数学课上，老师提出：
    如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．
    同学发现两个结论：
    ①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：xC•xD=-yH
    （1）请你验证结论①和结论②成立；
    （2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
    （3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （1）求直线BC与抛物线的解析式；
    （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
    （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面
    40
    3
    米，求水流下落点B离墙距离OB．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．
    （1）求经过B，E，G三点的二次函数解析式；
    （2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长．
    （3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BP∥EG，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为-2，0，1时，相应的输出值分别为5，-3，-4．
    （1）求此二次函数的解析式；
    （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴，与抛物线y=ax2交于点N，若S△OMN=9，则a的值是（　　）
    A．
    2
    3
    		B．-
    2
    3
    		C．
    1
    3
    		D．-
    1
    3

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    科学研究表明，合理安排各学科的课外学习时间，可以有效的提高学习的效率．教育专家们通过对九年级学生的课外学习时间与学习收益情况进行进一步的研究发现，九年级学生每天课外用于非数学学科的学习时间t（小时）与学习收益量y1的函数关系是图①中的一条折线；每天用于数学学科的学习时间t（小时）与学习收益量y2的函数关系如图②所示：图象中OA是顶点为A的抛物线的一部分，AB是射线．

    （1）求出y1与时间t（小时）之间的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
    （2）求出y2与时间t（小时）之间的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
    （3）如果九年级学生每天课外学习的时间为2小时，学习的总收益量为W（W=y1+y2），请问应如何安排学习时间才能使学习的总收益量最大？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    某抛物线型拱桥的示意图如图，已知该抛物线的函数表达式为y=-
    1
    48
    x2+12    ，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），这两盏灯的水平距离EF是24米，则警示灯F距水面AB的高度是______米．

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