Question

19．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：CE=AG；
②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数；
（2）如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，直接写出$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△ACF}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①由AB=AC，∠ABC=60°得到△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA，求得∠BFD=∠AFG=60°，推出∠EAC=∠GBA证得△GBA≌△EAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图1，取BF的中点K连接AK，由BF=2AF，推出△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FAK=∠FKA，求得$∠AKF=\frac{1}{2}∠BFD=30°$，根据全等三角形的性质得到AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，推出△GAK≌△EFC，根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF即可得到结论；
（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，推出∠EAC=∠FBA，根据全等三角形的性质得到S_△ABK=S_△ACF，∠AKB=∠AFC，证得△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论．

解答 解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形，
则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA，
∵AD⊥BN，∠MBN=30°，
∴∠BFD=∠AFG=60°，
∵∠ABF+∠BAF=60°，
∠BAF+∠EAC=60°
∴∠EAC=∠GBA
在△GBA与△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBA=∠EAC}\\{AB=CA}\\{∠GAB=∠ECA}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△EAC，
∴CE=AG；
②如图1，取BF的中点K连接AK，
∵BF=2AF，
∴AF=BK=FK=$\frac{1}{2}$BF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴∠FAK=∠FKA，
∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，
∵∠BFD=60°，
∴$∠AKF=\frac{1}{2}∠BFD=30°$，
∵△GBA≌△EAC，
∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，
∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，
在△GAK与△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠AGB=∠AEC}\\{KG=FE}\end{array}\right.$，
∴△GAK≌△EFC，
∴∠CFE=∠AKF，
∴∠CFE=∠AKF=30°；

（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，
∵∠BFE=∠BAC，
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，
∴∠EAC=∠FBA，
在△ABK与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABK=∠FAC}\\{BK=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△AFC，
∴S_△ABK=S_△ACF，∠AKB=∠AFC，
∵∠BFE=2∠CFE，
∴∠BFE=2∠AKF，
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，
∴∠AKF=∠KAF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴AF=FK，
∴BK=AF=FK，
∴S_△ABK=S_△AFK，
∵S_△ABF=S_△ABK+S_△AFK=2S_△ABK=2S_△ACF，
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△ACF}}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．