Question

【题目】（如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于 F.

(1)求证：DF 是 ⊙O 的切线；

(2)若 AC=3AE,求的值。

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

(1)根据切线的判定，连接OD，证明DF垂直OD，（2）设参数，根据题意可证三角形CDE是等腰三角形，根据摄影定理可以求出AD的长度，进而求的值.

(1)证明：连接 OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF 是 O 的切线；

(2)连接 BE，AD，

∵AB 是直径，∴∠AEB=90 ，

∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE= =2 AE，∴

∵∠DFC=∠AEB=90 ，∴DF∥BE，∴△DFC∽△BEC，

∴ ，∴DF= FC

∵AB 是直径，∴AD⊥BC，∴DF2=AF FC，

∴(FC)2=AF FC，∴ FC=AF，∴