Question

如图，点A优弧BC的中点，E，D分别为弧AB和弧AC的中点，连接AC，EC，AD，连接BD交AC于点F．交EC于G．
（1）求证：EC∥AD；
（2）若AF=CD=1，求FG的长．

Answer 1

分析：（1）在同圆中，弧相等，则弦相等，所对的圆周角相等，可得出∠ACE=∠CAD，从而得出CE∥AD；
（2）在三角形ADF和三角形CFG中，有两对角相等，则∠ADF=∠CGF，则DG=DC，可得出∠BDC=∠DAC，则DF=CF，△CDF∽△CDA，则CD²=CF•AC，设CF=x，代入即可得出x的值，进而得出FG的长．

解答：解：（1）证明：∵点A优弧BC的中点，
∴弧AB=弧AC，
又∵E，D分别为弧AB和弧AC的中点，
∴弧AE=弧CD
∴∠ACE=∠CAD，
∴CE∥AD；

（2）∵CE∥AD，
∴∠ADF=∠CGF，
∵弧AB=弧ED，∴∠ADB=∠DCG，
又∠ADB=∠DGC，
∴∠DGC=∠DCG，
∴DG=DC，
又弧BC=弧CD，
∴∠CDG=∠DAC，又∠DAC=∠ACD，
∴∠CDG=∠ACD，
∴CF=DF，
∴AF=CD=DG=AD=1，
∴△CDF∽△CDA，
∴CD²=CF•AC，
设CF=x，
∴1=x（x+1）
∴x=

-1+ 5

2

，
∴FG=DG-DF=CD-FC=1-

-1+ 5

2

=

3- 5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．