Question

（本小题满分10分）

（1）如图24—1，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AB="AC," AD⊥BC于D， 将△ABC沿AD剪开，并分别以AB、AC为轴翻转，点E、F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF (与△ABC在同一平面内)．延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）如果⑴中AB≠AC，其他不变，如图24—2．那么四边形AEGF是否是正方形？请说明理由．
（3）在⑵中，若BD＝2，DC＝3，求AD的长．

Answer 1

⑴证明：
∵，AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC＝22.5°
∵点E与点D关于AB对称，∴△AEB≌△ADB
∴AE=AD，∠AEB=∠ADB=90°，∠EAB=∠DAB
∴∠EAD=2∠DAB=45°
同理：AF=AD，∠AFC=90°，∠DAF=45°
∴AE=AF∠EAF=∠EAD+∠DAF=90°
∴四边形AEGF是正方形………………………………………5分
⑵ 四边形AEGF是正方形 ………………………………………6分
由⑴可知：∠EAB+∠FAC=∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
∵∠AEB=∠AFC=90°AE=AF
∴四边形AEGF是正方形………………………………………8分
⑶ 设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x ∴BG＝x－2，CG＝x－3
∴（x－2）2＋（x－3）2＝52   解得x1＝6，x2＝－1（舍）
∴AD＝x＝6          ………………………………………10分

解析