Question

如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．
（1）证明：△MON是直角三角形；
（2）当BM=时，求的值（结果不取近似值）；
（3）当BM=时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OP，通过证Rt△MOP≌Rt△MOB和Rt△NOP≌Rt△NOA，说明∠MOP=∠MOB和∠NOP=∠NOA，从而推出∠MON=90°；
（2）由（1）的结论，易证得△BOM∽△ANO，得AN：OB=OA：BM，由此可求得AN的长；由于NA、BM同垂直于AB，即AN∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CF：AF的值．
（3）当BM=时，Rt△OBM中，易求得∠OMB=60°；根据切线长定理知：∠OMP=60°；因此∠CMF=60°；由（2）的相似三角形知∠AOE=∠OMB=60°；由此可证得∠AOE=∠CMF；又知△ABC为等腰直角三角形，即∠C=∠BAC=45°，由此可证得△AEO与△CMF．
解答：（1）证明：连接OP；
∵MB和MP是圆的切线，∴MP=MB；
又∵OP=OB，OM=OM，
∴Rt△MOP≌Rt△MOB；
∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，
∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；
∴△NOM是直角三角形．

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，
∴AO=OB=1，CM=BC-BM=2-；
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO；
∴Rt△OBM∽Rt△NAO，
∴OB：AN=BM：AO，得AN=；
∵AN⊥AB，CB⊥AB，
∴AN∥BC；
∴CF：AF=CM：AN=（2-）：=2-3；

（3）解：∵BM=，OB=1，
∴tan∠MOB=MB：OB=，即∠MOB=30°；
∴∠FMC=∠OMB=60°；
∴∠CMF=180°-2∠OMB=60°，∠EOA=180°-∠NOM-∠MOB=60°；
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF．
点评：本题主要考查了切线的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的概念，涉及的知识点较多，难度较大．