Question

【题目】已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，分别交m、n于点A、B，当点B与点D重合时（如图1），连结PA，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　．

（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向右平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB

的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图3），若两平行线m、n之间的距离为2k，求证：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】（1）PA=PB；（2）成立，证明详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据△CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．

（2）PA=PB仍然成立．如图，延长AP交直线n于点E．只要证明PA=PE即可；

（3）延长AP交直线n于点E，作AF⊥直线n于点F．只要证明△AEF∽△BEP，可得，推出AEBP=AFBE，由AF=2k，AE=2PA，BE=AB，推出2PAPB=2kAB，可得PAPB=AB．

解：．

成立．如图，延长AP交直线m于点E．

mn，

，，

又，

≌．

，即点P是AE的中点，

又，

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，延长AP交直线n于点E，作直线n于点

由得，

又，

是线段AE的垂直平分，

，，

∽．

，

，

，，，

，

．