Question

4．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2-n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-18+6b+c}\\{6=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，
∴△F′BO∽△BDE，
∴$\frac{OF′}{OB}=\frac{BE}{DE}$．
∵点B（6，0），点D（2，8），
∴点E（2，0），BE=6-2=4，DE=8-0=8，OB=6，
∴OF′=$\frac{BE}{DE}$•OB=3，
∴点F′（0，3）或（0，-3）．
设直线BF的解析式为y=kx±3，
则有0=6k+3或0=6k-3，
解得：k=-$\frac{1}{2}$或k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3或y=$\frac{1}{2}$x-3．
联立直线BF与抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$②，
解方程组①得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴点F的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$）；
解方程组②得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴点F的坐标为（-3，-$\frac{9}{2}$）．
综上可知：点F的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$）或（-3，-$\frac{9}{2}$）．
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，
设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2-n，n）．
∵点M在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的图象上，
∴n=-$\frac{1}{2}（2-n）^{2}$+2（2-n）+6，即n²+2n-16=0，
解得：n₁=$\sqrt{17}$-1，n₂=-$\sqrt{17}$-1．
∴点Q的坐标为（2，2$\sqrt{17}$-2）或（2，-2$\sqrt{17}$-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、正方形的性质及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出直线BF的解析式；（3）得出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．