【题目】如图所示,平面直角坐标系中,△ABC的边AB在x轴上,∠C=60°,AC交y轴于点E,AC,BC的长是方程x2﹣16x+64=0的两个根且OA:OB=1:3,请解答下列问题:
(1)求点C的坐标;
(2)求直线EB的解析式;
(3)在x轴上是否存在点P,使△BEP为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:解方程x2﹣16x+64=0得x1=8,x2=8,
∴AC=BC=8,
∵∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=8,
∵OA:OB=1:3,
∴AO=2,OB=6,
过点C作CH⊥x轴于点H,则AH= AB=4,CH= AB=4 ,
∴OH=AH﹣AO=4﹣2=2,
∴C(2,4 )
(2)
解:设直线AE解析式为y=kx+b(k≠0),把A(﹣2,0)、C(2,4 )代入可得 ,解得 ,
∴直线AC的解析式为y= x+2 ,
令x=0可得y=2 ,
∴E(0,2 ),
∵B(6,0),
设直线BE的解析式为y=rx+s,
∴ ,解得 ,
∴直线BE的解析式为y=﹣ x+2
(3)
解:设P点坐标为(x,0),
∵B(6,0),E(0,2 ),
∴BE= =4 ,BP=|x﹣6|,PE= = ,
若△BEP为等腰三角形,则有BP=EP、BP=BE和EP=BE三种情况,
② 当BP=EP时,则|x﹣6|= ,解得x=2,此时P点坐标为(2,0);
②当BP=BE时,则4 =|x﹣6|,解得x=6+4 或x=6﹣4 ,此时P点坐标为(6+4 ,0)或(6﹣4 ,0);
③当EP=BE时,则 =4 ,解得x=6或x=﹣6,当x=6时,点E和点B重合,不合题意,舍去,
∴x=﹣6,此时P点坐标为(6,0);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(2,0)或(6+4 ,0)或(6﹣4 ,0)或(6,0).
【解析】(1)解方程x2﹣16x+64=0,可得到AC=BC=8,进而证得△ABC是等边三角形,得到AB=8,再由OA:OB=1:3,得到OA、OB的长,从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标;(2)应用待定系数法即可求得直线AC的解析式,从而求得E的坐标,然后再根据待定系数法即可求得直线EB的解析式;(3)可设P点坐标为(x,0),则可表示出BP、EP,且可求得BE的长,当△BEP为等腰三角形时,则有BP=EP、BP=BE和EP=BE三种情况,可分别得到关于x的方程,可求得x的值,则可求得P点坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对等腰三角形的性质的理解,了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).
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【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,A(1,0),B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)结合函数图象,写出当y<3时x的取值范围.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是 的中点,CE⊥AB于E,BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,求⊙O的半径.
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【题目】某校计划购买篮球、排球共20个,购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同。
(1)篮球和排球的单价各是多少元?
(2)若购买篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案
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【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴,y轴于A,B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与点A不重合),点D是抛物线的顶点,请解答下列问题.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)求△BCD的面积.
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【题目】如图,将边长为6的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕(如图①),为其交点.
(1)探求与的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时,求的长度;
②如图③,若点在线段上,,则的最小值为 .
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b、c的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,直接写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
(3)当2≤x≤4时,求y的最大值.
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