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4.如图,点E为正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE.点F为线段DE上一点,连接AF、BF,AF正好平分∠DFB.
(1)求证:∠ABF-∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DFB;
(2)若BC=$2\sqrt{5}$,tan∠DEB=2,求S△BEF

分析 (1)作AH⊥BF于H,AG⊥DE于G,由角平分线和正方形的性质得到AG=AH,AB=AD,证得三角形全等,得到∠ABH=∠ADG,因为∠ADG=∠DAF+∠AFD,所以得到结论∠ABF-∠DAF=∠DFA=$\frac{1}{2}$∠DFB;
(2)由锐角三角函数得到tan∠DEB=2,$\frac{DC}{EC}$=$\frac{BF}{EF}$=2,求得EC=$\sqrt{5}$BE=$3\sqrt{5}$,BF=2EF,由勾股定理解得EF=3,BF=6,得到S△EFB=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9.

解答 (1)证明:作AH⊥BF于H,AG⊥DE于G,
∵∠AFG=∠AFB,
∴AG=AH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
在Rt△ABH与Rt△ADG中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AH=AG}\end{array}\right.$,
∴Rt△ABH≌Rt△ADG,
∴∠ABH=∠ADG,
∵∠ADG=∠DAF+∠AFD,
∴∠ABF-∠DAF=∠DFA=$\frac{1}{2}$∠DFB,
(2)解:∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ABF+∠FBE=∠GDA+∠CDE=90°,
∴∠EBF=∠CDE,
∴∠DFB=∠DCB=90°,
∵tan∠DEB=2,∴$\frac{DC}{EC}$=$\frac{BF}{EF}$=2,∴EC=$\sqrt{5}$BE=$3\sqrt{5}$,BF=2EF,
∴EF2+(2EF)2=${(3\sqrt{5)}}^{2}$,
EF=3,BF=6,
∴S△EFB=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理的应用,三角形的面积公式,辅助线的作法是解题的关键.

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