Question

10．如图，在?ABCD中，E是AD上一点，连接CE，F为CE的中点，DF=EF．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，若AE=AB，过点B作BG⊥CE，垂足为G，连AG．
①求∠AGB的度数；
②若CD=3DE，则$\frac{EG}{CG}$=$\frac{3}{2}$（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）判断出∠ADC=90°，用一个内角是90°平行四边形是矩形；
（2）先利用等角或同角的余角相等判断出∠BAH=∠EAG，∠ABH=∠AEG，从而得到△ABH≌△AEG，即AH=AG，即可；
（3）设出DE=x，利用勾股定理和条件得到 CD=3x，再用三角函数表示出CG=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x，EG=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$x，即可得到结论．

解答 （1）∵F为CE的中点，DF=EF，
∴∠ECD=∠FDC，∠CED=∠EDF，
∵∠ECD+∠FDC+∠CED+∠EDF=180°，
∴∠ADC=∠CDF+∠EDF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；                             
（2）①如图2，

过点A作HA⊥AG，交GB的延长线于点H，
∴∠BAH+∠BAG=90°，
∵∠EAG+∠BAG=90°，
∴∠BAH=∠EAG，
∵BG⊥CE，
∴∠CBG+∠ABG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABG=∠BCG，
∵∠BCG+∠DCE=∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠ABG=∠CED，
∴∠ABH=∠AEG，
∵AB=AE，∠BAH=∠EAG
∴△ABH≌△AEG（ASA），
∴AH=AG，
∵∠HAG=90°，
∴∠AGB=45°；                                   
②设DE=x，
∵CD=3DE
∴CD=3DE=3x，
∵∠CDE=90°，
∴CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴sin∠DCE=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，
∴AE=AB=3x，
∴BC=AD=AE+DE=3x+x=4x，
∵BG⊥CE，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∵∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠CBG=∠DCE，
∴sin∠CBG=sin∠DCE=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{CG}{4x}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴CG=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x，
∵CE=$\sqrt{10}$x，
∴EG=CE-CG=$\sqrt{10}$x-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$x，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}x}{\frac{2\sqrt{10}}{5}x}$=$\frac{3}{2}$
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了判定直角的方法，勾股定理，锐角三角函数的意义，同角或等角的余角相等，解本题的关键是灵活运用同角或等角的余角相等，判断角相等．