Question

四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：先设这四个数为x₁，x₂，x₃，x₄，且它们的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；可得（x₁+x₃+x₄）÷x₂=4，同理（x₁+x₂+x₄）÷x₃=3，（x₁+x₂+x₃）÷x₄=2；则4x₃=5x₂=3x₄；可以知道，x₂能被12整除，从而求解．

解答：解：先设这四个数为x₁，x₂，x₃，x₄，且它们的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；则根据题意有：
（x₁+x₂+x₃+x₄）÷x₂=1+（x₁+x₃+x₄）÷x₂=N（自然数），即（x₁+x₃+x₄）÷x₂=N-1，
因为他们的首位数字相同，
所以N-1应该在3附近，
又因为x₂＜x₃＜x₄，
所以（x₁+x₃+x₄）÷x₂=4，
同理（x₁+x₂+x₄）÷x₃=3，
（x₁+x₂+x₃）÷x₄=2；
则4x₃=5x₂=3x₄；
由5x₂=3x₄可得2x₂=3（x₄-x₂），
因为x₄和x₂的首位数字相同，
所以x₄-x₂最大为99，即x₂最大为148，
且由4x₃=5x₂=3x₄可以知道，x₂应该能被12整除，
故x₂可以为108，120，132，144；
进而求出x₃为135，150…，x₄为180，200…；
所以x₂只能取为x₂=108，
从而x₃=135，x₄=180，x₁=117，即这四个数是117，108，135，180．

点评：考查了数的整除性，本题可设这四个数为x₁，x₂，x₃，x₄，且它们的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；x₄和x₂的首位数字相同，所以x₄-x₂最大为99，即x₂最大为148，x₂应该能被12整除，得到x₂的值．