Question

如图，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长BF交AC于E，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）试说明：△ABC是等腰三角形；
（3）试说明：CE=BF；
（4）求BG：GE的值（直接写出答案）．

Answer 1

证明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，
，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=AC，
∴CE=BF；

（4）连接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴CG=GE，
即BG=CE，
∴BG：GE=．
分析：（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；
（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF；
（4）连接CG，根据等腰直角三角形的性质可得DH垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BG=CG，根据等边对等角可得∠GBC=∠GCB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EGC=2∠GBC=45°，然后求出△EGC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键，（4）作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．