Question

为了激发学生学习英语的兴趣，萧山区某中学举行了校园英文歌曲大赛，并设立了一、二、三等奖．学校计划根据设奖情况共买50件奖品，其中购买二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件，购买三等奖奖品所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．其中各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．

奖品	一等奖奖品	二等奖奖品	三等奖奖品
单价（元）	12	10	5

（1）用含有x的代数式表示：该校团委购买二等奖奖品多少件，三等奖奖品多少件？并表示w与x的函数关系式；
（2）请问共有几种购买方案？
（3）请你计算一下，学校应如何购买这三种奖品，才能使所支出的总费用最少，最少是多少元？

Answer 1

考点：一次函数的应用,一元一次不等式组的应用

专题：

分析：（1）设一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件为（2x-10），进一步表示出三等奖；分别算出三种奖品的费用相加即是总费用；
（2）再根据题意列出不等式组即可求解；
（3）一次函数的系数k=17，故根据函数的性质可知w随x的增大而增大．根据题（1）可求最小值．

解答：解：（1）购买二等奖为（2x-10）件；                            
购买三等奖为（60-3x）件．                                 
w=12x+10（2x-10）+5[50-x-（2x-10）]=17x+200；

（2）由题意可得：

x＞0 2x-10＞0 50-x-(2x-10)＞0 5[50-x-(2x-10)]≤1.5×10(2x-10)

，
解得：10≤x＜20，
∵x为整数，
∴共有10种方案；                                 

（3）∵k=17＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=10时，w有最小值，最小值为w=17×10+200=370（元）．     
答：当购买一等奖10件，二等奖10件，三等奖30件时所花的费用最少，最少为370元．

点评：本题考查一次函数与一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．利用函数的单调性来求最值问题是常用的方法之一，要熟练掌握．