Question

如图，直线l₁∥l₂∥l₃，l₁与l₂之间的距离为1，l₂与l₃之间的距离为2，点P在l₁上，点A在l₂上，点C在l₃上，PC交l₂于点B，PA⊥PC．
（1）当PA=3时，求PC的长；
（2）在∠APC绕点P旋转的过程中，△ABC是否可能是等腰三角形？如果可能，请求出PC的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）过P作PD⊥L₃，交L₂于E，交L₃于D．利用条件可得△PAE∽△BPE和△PEB∽△PDC，代入可求出PC的长度；
（2）由等腰三角形，可得△ABP≌BCF，再利用三角函数的定义可求出PC的长．

解答：解：
（1）过P作PD⊥L₃，交L₂于E，交L₃于D．

则AE²═PA²-PE²═3²-1²═8，AE═2

2

，
∵△PAE∽△BPE，
∴

PA

PB

=

AE

PE

，
∴

3

PB

=

2 2

1

，
∴PB=

3 2

4

，
又∵△PEB∽△PDC，
∴

PE

PD

=

PB

PC

，
∴

1

3

=

3 2 4

PC

，
∴PC═

9 2

4

；
（2）可能．

当△ABC为等腰三角形时，因为∠ABC为钝角，所以只能有AB═BC．过B作BF⊥L3于F，则△ABP≌BCF，
∴PA═BF═2  
∴△ABP的斜边的高为1，则∠PAB═30°，
∴∠FBC═60°，
∴Sin60°=

3

PC

，
∴PC═

3

sin60°

=

3

3 2

=2

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造三角形相似．