Question

20．如图，已知△OAA₁是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△OAA₁的斜边AA₁为直角边，画第二个等腰直角三角形AA₁A₂，再以Rt△AA₁A₂的斜边AA₂为直角边，画第三个等腰直角气角形AA₂A₃…依此类推，则点A₂₀₁₆的坐标是（-2¹⁰⁰⁸+1，0）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，可以根据规律发现第n个直角三角形的斜边长，再根据点A₂₀₁₆的位置即可求出其坐标．

解答 解：∵△OAA₁是腰长为1的等腰直角三角形，
∴第一个直角三角形的斜边长：1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵以Rt△OAA₁的斜边AA₁为直角边，画第二个等腰直角三角形AA₁A₂，
∴第二个三角形的斜边长：1×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）²，
同理可得，第三个三角形的斜边长：1×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，
…
以此类推，第n个三角形的斜边长为：（$\sqrt{2}$）ⁿ，
∴第2016个等腰直角三角形的斜边长是：（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∵A₈在x轴的负半轴上，2016÷8=252，
∴A₂₀₁₆在x轴的负半轴上，且A₂₀₁₆O=A₂₀₁₆A-OA=2¹⁰⁰⁸-1，
∴点A₂₀₁₆的坐标是（-2¹⁰⁰⁸+1，0）．
故答案为：（-2¹⁰⁰⁸+1，0）．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质的运用，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的 $\sqrt{2}$倍，从中发现规律．