Question

【题目】如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90，点D为AB边上的一点，

（1）试说明：∠EAC＝∠B ；

（2）若AD＝15，BD＝36，求DE的长．

（3）若点D在A、B之间移动，当点D为 时，AC与DE互相平分.

（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）39 （3）AB的中点

【解析】试题分析：

（1）先由∠ACB＝∠ECD＝90可得∠ECA=∠DCB，再由“SAS”证△ECA≌△DCB可得结论；

（2）由△ECA≌△DCB可得：AE=BD=36，由∠EAC=∠B=45°可证∠DAE=90°，从而得到△ADE是直角三角形，再由勾股定理可求得DE的长；

（3）如图，若AC与DE互相平分，由∠DCE=90°，易得CO=AO=DE=OD=OE，从而可得∠ODA=∠OAD=45°，并由此得到∠DOA=90°，再证△COD为等腰直角三角形，可得∠CDO=45°，这样∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°，即CD⊥AB，∴点D是AB的中点.

试题解析：

（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD，

∴∠ECA＝∠DCB ，

∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，

∴EC＝DC，AC＝BC，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠EAC＝∠B.

（2）∵△ACE≌△BCD，

∴AE＝BD＝36，

∵∠EAC＝∠B＝45 °，

∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°，

∴在Rt△ADE中， ，

∴DE2=152+362 ，

∴DE＝39.

（3）当点D为AB的中点时，AC与DE互相平分，理由如下：

∵AC=BC，D为AB中点，∠ACB=90°，

∴CD=AB=AD，∠CDA=90°，

∴∠DCA=∠DAC=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECO=45°=∠DCA，

又∵CD=CE，

∴CO为△DCE的中线.

∵∠CDA=90°，∠CDE=45°，

∴∠ODA=45°=∠CDE，

又∵CD=AD，

∴DO为△ADC的中线.

∴AC和DE互相平分.