Question

【题目】定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．根据此定义，完成下面各题：

（1）若△ABC为半角三角形，且∠A＝90°，则△ABC中其余两个角的度数为　 　；

（2）若△ABC是半角三角形，且∠C＝40°，则∠B　 　；

（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，则△EDF是半角三角形吗？若是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°或30°，60°；（2）20°，80°，60°，120°，°或°；（3）△EDF是半角三角形，理由见解析

【解析】

（1）分两种情况进行解答，①若另一个锐角等于∠A＝90°的一半，②若除∠A以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，根据三角形的内角和为180°，进行解答，

（2）分六种情况进行讨论解答，把其中的一个内角等于另一个内角的一半的情况都进行考虑，分别求出相应的角的度数．

（3）根据题意分别求出三角形DEF的各个内角的度数，结合“半角三角形”的意义进行判断．

解：（1）①若另一个锐角等于∠A＝90°的一半，则这个角为45°，第三角为45°，

②若除∠A以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，则有较小的角为（180°﹣90°）÷（1+2）＝30°．

那么较大的角为60°，

故答案为：45°，45°或30°，60°，

（2）根据题意有以下几种情况：

①若∠B＝∠C，则∠B＝20°，

②若∠C＝∠B，则∠B＝80°，

③若∠A＝∠C，则∠A＝20°，∠B＝120°，

④若∠C＝∠A，则∠A＝80°，∠B＝60°，

⑤若∠B＝∠A，则∠B＝（180°﹣40°）÷3＝，

⑥若∠A＝∠B，则∠B＝（180°﹣40°）÷3×2＝，

（3）∵AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，

∴ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠A＝72°，∠D＝∠ABC＝180°﹣72°＝108°，

由折叠得，∠C＝∠BFE＝72°，

∵BF⊥AD，

∴∠AFB＝90°，

∴∠DFE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，

∴∠DEF＝180°﹣108°﹣18°＝54°

∴∠DEF＝∠D，

∴△EDF是半角三角形．