Question

【题目】如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB＝1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；

（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）见解析；（3）定点K的坐标为（2，4）

【解析】

（1）先确定A、B的坐标，然后运用顶点式的待定系数法即可解答；

（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）；延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．再说明Rt△BOA∽Rt△EAC，进一步可得AC=2AE；然后再说明BQ⊥PC，再求出AB、PC、PB的解析式，最后结合图形即可解答；

（3）过A作垂直于x轴的直线并交MN于点K（2，k），然后再根据旋转的性质设出M（2﹣k，k），最后代入y＝（x﹣2）2即可求得k的值，进而确定该点的坐标．

解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）

当x＝0时，y═（0﹣m）2＝，即设B（0，）

∴OA＝m，OB＝

由S△OAB＝1

∴OAOB＝1，即m＝2

解得，m＝2

∴A（2，0），B（0，1）

把y＝（x﹣2）2化为一般式为，y＝x2﹣x+1．

（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．

D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）

如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．

∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°

∴Rt△BOA∽Rt△EAC

∴∠BAO＝∠ECA

∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝

∴＝

∴AC＝2AE

又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA

∴∠ECA＝∠EAQ

又∵∠ECA+∠CEA＝90°

∴∠EAQ+∠QEA＝90°

∴BQ⊥PC

设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，

解得

∴直线AB的解析式为，y＝﹣x+1

由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'．

又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点

∴令2x+b'═（x﹣2）2

整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0

即144﹣4（4﹣4b'）＝0

解得，b'＝﹣8

∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8．

∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8

解得，n＝﹣4．

∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4

由AC＝2AE得，AE＝2．

把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，

x2﹣12x+36＝0

解得，x1＝x2＝6

再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8

解得，y＝4

∴P（6，4）

设直线PB解析式为y＝k'x+1

把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1

解得，k'＝

∴直线PB的解析式为，y＝x+1

又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入y＝x+1中得，

n'＝×2+1＝2

∴D点坐标为（2，2），即AD＝2

∴AD＝AE

∴AC＝2AD

（3）如图3﹣1过A作垂直于x轴的直线并交MN于点K（2，k）．

∵∠MAN为直角

∴∠M+∠N＝90°，∠MAK+NAK＝90°

又∵∠MKA＝∠N+∠NAK，∠NKA＝∠M+MAK

∴∠MKA+∠NKA＝180°

∴直角∠MAN绕A点旋转时，M、K、N三点始终在一条直线上，即MN始终经过一个定点K．

如图3﹣2当MN∥y轴时，此时Rt△MAN为等腰直角三角形，应有AK＝MK，则设M（2﹣k，k）．

把M（2﹣k，k）代入y＝（x﹣2）2中得，k＝（2﹣k﹣2）2

解得，k1＝0（舍去），k2＝4

∴定点K的坐标为（2，4）．