Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．
（1）求∠AGD的度数；
（2）证明四边形AEFG是菱形；
（3）证明BE=2OG．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；
（2）我们根据折叠的性质就能得出AE=EF，AG=GF，只要再证出AE=AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，（1）中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE=AG后就能证出AEFG是菱形了．
（3）我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．

解答：解：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22.5°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=45°，
∴∠AGD=45°+67.5°=112.5°．

证明：（2）由对称性，可知AE=EF，AG=FG，
∴∠AEG=90°-22.50°=67.5°，
∴∠AGE=180°-112.5°=67.5°，
∴AE=AG，
∴AE=AG=EF=GF，
∴四边形AEFG是菱形；

证明：（3）∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴

OG

EF

=

DO

DF

=

2

2

，
∴EF=

2

OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
∴BE=

2

EF=2OG．

点评：主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．