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    有一个矩形ABCD，A在原点，C在y=
    34
    x    的图象上，如图（1），AB=8．矩形ABCD沿射线AC的方向以每秒1的速度平移，同时，一个动点P从B点出发以每秒1的速度沿平移中的矩形的边B-C-D运动．
    （1）求平移中的矩形ABCD的对称中心K到原点的距离y关于运动时间t（秒）的函数关系式；
    （2）求运动时间为5秒时P点的坐标；
    （3）若作PM⊥x轴，PN⊥y轴，是否在某一时刻，使矩形OMPN与矩形ABCD相似？若有，求出来；若没有，说明理由．
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    分析：（1）根据题意先求出初始距离，再求移动到某一位置时到原点的距离；
    （2）运动时间为5秒时A的坐标为（4，3），又因此时P在线段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5）；
    （3）因为某一时刻，矩形OMPN与矩形ABCD相似，所以可设运动时间为t秒，因为动点P从B点出发以每秒1的速度沿平移中的矩形的边B-C-D运动，所以需分情况讨论．
    解答：解：（1）∵C在y=
    3
    4
    x    的图象上，AB=8，
    ∴AC=10，所以矩形ABCD的对称中心即对角线的交点到原点的距离为5．
    又因矩形ABCD沿射线AC的方向以每秒1的速度平移，
    所以平移中的矩形ABCD的对称中心K到原点的距离y关于运动时间t（秒）的函数关系式y=t+5；（2分）

    （2）运动时间为5秒时A的坐标为（4，3），又因此时P在线段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5），
    即P（12，8）；（5分）

    （3）设运动时间为t秒．
    当0≤t≤6时，（P在BC上）P(8+
    4
    5
    t，t+
    3
    5
    t)
    8+
    4
    5
    t
    t+
    3
    5
    t
    =
    4
    3
    时，t=6；（7分）
    8+
    4
    5
    t
    t+
    3
    5
    t
    =
    3
    4
    时，t=20（舍）．（9分）
    当6≤t≤14时，（P在CD上）P(14-
    1
    5
    t，6+
    3
    5
    t)
    14-
    1
    5
    t
    6+
    3
    5
    t
    =
    4
    3
    时，t=6；（10分）
    14-
    4
    5
    t
    6+
    3
    5
    t
    =
    3
    4
    时，t=
    190
    3
    （舍）．（11分）
    因此，只有t=6时矩形OMPN与矩形ABCD相似．（12分）
    点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质来解决问题，但应注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
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    （1）分别求出当x=1和x=3时，对应的△OPQ的面积；
    （2）设△OPQ的面积为y，分别求出不同时段，y关于x的函数解析式，注明自变量的取值范围．并求出在整个运动过程中，△OPQ的面积的最大值；
    （3）在P、Q运动过程中，是否存在两个时刻x1和x2，使得构成相应的△OP1Q1和△OP2Q2相似？若存在，直接写出这两个时刻，并证明两个三角形相似；若不存在，请说明理由．
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    （2）求运动时间为5秒时P点的坐标；
    （3）若作PM⊥x轴，PN⊥y轴，是否在某一时刻，使矩形OMPN与矩形ABCD相似？若有，求出来；若没有，说明理由．

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