解:将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ,连接PQ.再过A作CP的延长线的垂线AD,垂足为D,
∴AQ=PB=5,CQ=PC,∠PCQ=60°,
∴△PCQ是等边三角形,
∴PQ=PC=3,∠QPC=60°,
在△PAQ中,∵PA=4,AQ=5,PQ=3,
∴AQ
2=PA
2+PQ
2,
∴∠APQ=90°,
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°,
∴∠APD=30°,
在Rt△APD中,AD=
PA=2,PD=AP•cos30°=2
,
则CD=PC+PD=3+2
,
在Rt△ACD中,AC
2=AD
2+CD
2=4+(3+2
)
2=25+12
.
分析:首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ,连接PQ.再过A作CP的延长线的垂线AD,垂足为D,易证得△PCQ是等边三角形,△APQ是直角三角形,则可求得∠APC的度数,然后可求得∠APD的度数,在Rt△APD中,即可求得AD与CD的长,继而求得AC
2.
点评:此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.