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    8．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
    （1）当t=1秒时，求PQ的长；
    （2）求出发几秒时，△QCB是等腰三角形？
    （3）若P沿A→B→C，Q沿B→C→A方向周而复始的运动，则经过几秒P，Q第一次相遇．

    分析 （1）先确定出BP，BQ，再根据勾股定理即可得出结论；
    （2）先求出AC，再判断出满足条件的点Q必在AC上，再分三种情况讨论计算即可；
    （3）根据题意得出点P，Q的运动路程相差三角形的周长（类似于环形跑道上的同向运动）．

    解答 解：（1）由运动知，AP=1，BQ=2×1=2，
    ∵AB=12，
    ∴BP=12-t=11，
    在Rt△PBQ中，根据勾股定理得，PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=5$\sqrt{5}$；

    （2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=15，
    ∵△QCB是等腰三角形，
    ∴点Q必在AC上，
    当QB=QC时，点Q是AC的中点，
    ∴t=（BC+$\frac{1}{2}$AC）÷2=（9+7.5）÷2=8.25秒，
    当CQ=CB=9时，t=（BC+CQ）÷2=（9+9）÷2=9秒，
    当BQ=BC时，如图，
    过点B作BD⊥AC于D，
    ∴CQ=2CD，
    在Rt△ABC中，S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BD，
    ∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12×9}{15}$=$\frac{36}{5}$，
    在Rt△BCD中，根据勾股定理，得，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{27}{5}$，
    ∴CQ=2CD=$\frac{54}{5}$，
    ∴t=（BC+CQ）÷2=9.9秒，
    即：出发8.25秒或9秒或9.9秒时，△QCB是等腰三角形；

    （3）由题意知，2t-t=AB+BC+AC=12+9+15，
    ∴t=36，
    即：经过36秒，P，Q第一次相遇．

    点评 此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出BP，解（2）的关键是判断出点Q必在边AC上，解（3）的关键是得出点P，Q的运动路程相差三角形的周长，是一道基础题目．

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