Question

【题目】对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．

（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为　 　．

（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：

①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；

②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①B（4，2）或B（0，2）；②﹣12≤m≤4．

【解析】

（1）由两点距离公式可求AB长，由正方形的性质可求解；

（2）①分两种情况，由两点距离公式和正方形性质可求解；

②由题意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性质可求a的取值范围，即可求解．

（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），

∴AB＝，

由题意可知，AB是正方形对角线的一半，

∴正方形的边长为2，

∴正方形的面积为40，

∴顶点A、B的“领域”的面积为40；

故答案为40；

（2）①如图，

∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，

∴AB与x轴的所成锐角为45°，

当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），

∴AB＝，

∵点A、B的“领域”的面积为16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴点B（0，2），

当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）

∴AB'＝a，

∵点A、B的“领域”的面积为16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴点B（4，2），

综上所述：B（4，2）或B（0，2）；

②如图2，过点B作BM⊥AM，

∵∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，

∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，

∴BM＝AM，

设点B（a，﹣3a+2），

∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|

∴AB＝|2﹣a|，

∵点A、B的“领域”的面积不超过16，

∴≤16

∴0≤a≤4，

∵BM＝AM，

∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|

∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，

∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，

综上所述：﹣12≤m≤4．