Question

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

Answer 1

解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。
（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。
∴PO∥BC。
（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。
由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。
∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。
又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。
又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。

解析