Question

20．如图，AB为⊙O的直径，BC、AD是⊙O的切线，过O点作EC⊥OD，EC交BC于C，交直线AD于E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH=OA，证得CD是⊙O的切线；
（2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案．

解答 （1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，
∵BC、AD是⊙O的切线，
∴∠CBO=∠OAE=90°，
在△BOC和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBO=∠OAE}\\{OB=OA}\\{∠BOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOE（ASA），
∴OC=OE，
又∵EC⊥OD，
∴DE=DC，
∴∠ODC=∠ODE，
∴OH=OA，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，
∴∠E=∠DOA，
又∵∠OAE=∠ODA=90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴$\frac{EA}{OA}$=$\frac{OA}{AD}$，
∴OA²=EA•AD=1×3=3，
∵OA＞0，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴tanE=$\frac{OA}{AE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DOA=∠E=60°，
∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，
∴∠DOH=∠DOA=60°，
∴S_阴影部分=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{120×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3$\sqrt{3}$-π．

点评 此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．