Question

5．已知△ABC分别以△ABC的AC，BC边为腰，A，B为直角顶点，作等腰Rt△ACE和等腰Rt△BCD，M为ED的中点，求证：AM⊥BM．

Answer 1

分析 延长AM至F，使MF=AM，连接DF，BF，延长AC交DF于G．首先证明△DMF≌△EMA，推出∠MDF=∠MEA，DF∥AE，再证明△BDF≌△BCA，推出BF=BA，推出△BFA是等腰三角形，由此即可解决问题．

解答 证明：延长AM至F，使MF=AM，连接DF，BF，延长AC交DF于G 
∵M为ED中点，
∴MD=ME，
在△DMF和△EMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EM}\\{∠DMF=∠EMA}\\{FM=AM}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EMA，
∴∠MDF=∠MEA，
∴DF∥AE，
∵△ACE，△BCD 都是等腰直角三角形，
∴∠GAE=90°，∠DBC=90°，
∵DF∥AE，
∴∠DGC=∠GAE=90°，
∵∠DBC=90°，
∴在四边形DGCB中，∠BDF+∠BCG=360°-90°-90°=180°，
∵∠BCA+∠BCG=180°，
∴∠BDF=∠BCA，
∵△ACE，△BCD 都是等腰直角三角形，
∴BD=BC，AE=AC，
∵△DMF≌△EMA，
∴DF=AE，
∵AE=AC，
∴DF=AC，
在△BDF和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AC}\\{∠BDF=∠ACB}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BCA，
∴BF=BA，
∴△BFA是等腰三角形，
∵MF=AM，
∴BM⊥AF，
∴AM⊥BM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．