Question

【再读教材】
宽与长的比是

5 -1

2

或

2

5 +1

（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．
下面，我们用宽为4cm的矩形纸片折叠一个黄金矩形．
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，如图④…
【问题解决】
（1）图③中AB=

2

5

cm（保留根号）；
（2）你发现图④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由；
（3）在图③中，连接BD，以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长．

Answer 1

分析：（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC=2，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．
（2）首先求出CD=2

5

-2，ND=2

5

+2，再由黄金矩形的定义即可作出判断．
（3）过点Q作QH⊥ND于点H，由tan∠QDH=tan∠ABM，可求出DH的长度，继而得出AH的长度，在Rt△AHQ中利用勾股定理求出AQ，继而可利用勾股定理可求出该直角三角形斜边的长．

解答：解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC=MN=4cm，
由折叠的性质得：AC=

1

2

NC=2cm，
连接AB，如图②：

在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

22+42

=2

5

；

（2）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
∵AD=2

5

，AN=AC=2，
∴CD=2

5

-2，ND=2

5

+2，
∴

CD

BC

=

2 5 -2

4

=

5 -1

2

，
故矩形BCDE是黄金矩形；
∴

MN

ND

=

4

2 5 +2

=

2

5 +1

，
故矩形MNDE是黄金矩形．

（3）过点Q作QH⊥ND于点H，如图③所示：

由折叠的性质可得：∠ADQ=∠ABQ，
∴∠QDH=∠ABM，
∴tan∠QDH=tan∠ABM=

4

2

=

QH

DH

=

4

DH

，
∴DH=2，
∴AH=AD+DH=2

5

+2，
在Rt△AQH中，AQ²=AH²+QH²=（2

5

+2）²+16=40+8

5

，
BD²=CD²+BC²=（2

5

-2）²+16=40-8

5

，
以AQ、BD为两直角边作直角三角形，则该直角三角形斜边长=

AQ2+BD2

=

80

=4

5

．

点评：本题考查了几何变换的综合，涉及了折叠的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，综合考察的知识点较多，解答本题需要我们具有扎实的基本功，数形结合，灵活解答．