Question

如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，在l上翻滚两次，使它转到△A′B′C′的位置．若BC=1，AC=

3

，则顶点A运动到点A′的位置时，点A经过的路线的长是

(

4

3

+

3

2

)π

；若在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长又是

(

2684

3

+

671 3

2

)π

．

Answer 1

分析：利用弧长公式即可求得：由A到A′转过的路径长和有A′到A″经过的路线长，二者的和就是顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线的长；
根据每三次旋转一个循环，因而在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长即可求解．

解答：解：∵BC=1，AC=

3

，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴由A到A′转过的路径长是：

120π×2

180

=

4π

3

，
由A′到A″经过的路线长是：

90π× 3

180

=

3 π

2

，
则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线的长是：

4π

3

+

3 π

2

=（

4

3

+

3

2

）π；
继续旋转，则每三次旋转一个循环，因而在l上连续翻滚2012次，点A经过的路线的长是

2012

3

×（

4

3

+

3

2

）π=（

2684

3

+

671 3

2

）π．
故答案是：（

4

3

+

3

2

）π，（

2684

3

+

671 3

2

）π．

点评：本题考查了弧长公式，正确理解每三次旋转一个循环，以及记忆弧长公式是解题的关键．