Question

（2012•拱墅区一模）把两个直角边长分别为3、4与9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如图所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三点在同一直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC，则△EMC与△DAB面积的比值为（　　）

• A．1
• B．

  13

  10

• C．

  169

  150

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：过D作DF⊥BC于F，取EC的中点N，连接MN，得出四边形DECF是矩形，求出DF=EC=15，CF=DE=4，求出AB=15，AD=5，BD=5

10

，求出∠DAB=90°，求出△DAB的面积是

1

2

×AD×AB=

1

2

×5×15，根据梯形中位线得出MN∥DE，MN=

1

2

（DE+BC）=

13

2

，推出MN⊥EC，求出△MEC的面积是

1

2

×EC×MN=

13×15

4

，代入求出即可．

解答：解：
过D作DF⊥BC于F，取EC的中点N，连接MN，
∵∠DEA=∠BCE=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=EC=3+12=15，CF=DE=4，
∴BF=9-4=5，
在Rt△BAC中，BC=9，AC=12，由勾股定理得：AB=15，
同理AD=5，
在Rt△DFB中，DF=15，BF=5，由勾股定理得BD=5

10

，
∵AD=5，AB=15，
∴AD²+AB²=25+225=250，BD²=250，
∴AD²+AB²=BD²，
∴∠DAB=90°，
即△DAB的面积是

1

2

×AD×AB=

1

2

×5×15，
∵∠DEA=∠BCE=90°，
∴DE∥BC，
∵M为BD中点，N为EC中点，
∴MN∥DE，MN=

1

2

（DE+BC）=

1

2

×（4+9）=

13

2

，
∴MN⊥EC，
∴△MEC的面积是

1

2

×EC×MN=

1

2

×（3+12）×

13

2

=

13×15

4

，
∴△EMC与△DAB面积的比是

13×15

4

：（

1

2

×5×15）=13：10，
故选B．

点评：本题考查了梯形的性质，梯形的中位线，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，通过做此题培养了学生运用定理进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．