Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线m滚动，当△ABC滚动一周时，到△DEF位置．设△ABC滚动240°时，点C的位置为C₁，△ABC滚动480°时，点A的位置为点A₁．根据三角函数正切的两角和公式tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，∠CAC₁+∠CAA₁的度数是

 

°．

Answer 1

考点：解直角三角形,等边三角形的性质,旋转的性质

专题：

分析：过点C₁作C₁H⊥AF，利用锐角三角函数的定义得出C₁H的值及MH的值，再利用三角函数的定义求出tan∠CAC₁与tan∠CAA₁的值，然后通过等量代换求出∠CAC₁+∠CAA₁的度数．

解答：解：设△ABC滚动240°时，C点的位置为C₁，△ABC滚动480°时，A点的位置为A₁．
∵正△ABC的边长为2，
∴C₁H=MC1×tan60°=2×

3

2

=

3

即正△ABC的高为

3

，
MH=

1

2

MD=

1

2

×2=1，
∴tan∠CAC₁=

3

2+2+1

=

3

5

，
tan∠CAA₁=

3

4×2+1

=

3

9

，
∴由公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，
得：tan（∠CAC₁+∠CAA₁），
=

tan∠CAC1+tan∠CAA1

1-tan∠CAC1•tan∠CAA1

，
=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）
=

3

3

．
∴∠CAC₁+∠CAA₁=30°．
故答案为30°．

点评：本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，旋转的性质，正确判断△ABC滚动的轨迹，利用转化思想和等量代换思想是解答此题的关键．