Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，cosB=

1

3

，⊙O是△ABC的内切圆，⊙A与⊙O外切．求证：⊙O与⊙A的半径之比为1：2．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,相切两圆的性质

专题：证明题

分析：根据切线的长定理以及相切两圆的性质得出AE过点O，再利用锐角三角函数关系得出r与R的关系．

解答：证明：设AB切⊙O于点F，BC切⊙O于点E，连接AE，OF，
∵AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，⊙A与⊙O外切，
∴AE过点O，FO⊥AB，AE⊥BC，
∵cosB=

1

3

，
∴cosB=

BE

AB

=

FO

AO

=

1

3

，
设FO=r，AO=R+r，
∴

r

R+r

=

1

3

，
∴2r=R，
∴⊙O与⊙A的半径之比为1：2．

点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及锐角三角函数关系，得出cosB=

BE

AB

=

FO

AO

是解题关键．