【题目】[问题]小明在学习时遇到这样一个问题:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他经历了如下思考过程:
[回顾]
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),则不等式ax+b>的解集是 .
[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1>;
当x<0时,不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1<.
(2)构造函数,画出图象:
设y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象;
双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标:
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为 .
[解决]
(4)借助图象,写出解集:
结合“探究”中的讨论,观察两个函数的图象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集为 .
【答案】(1)x>1或﹣3<x<0;(2)详见解析;(3)﹣3或﹣1或1;(4)x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
【解析】
(1)根据一次函数与反比例函数图像位置关系直接观察出不等式解集.
(2)找出该函数上的关键点,在图表中描点连线即可.
(3)由图像观察即可得出交点的横坐标,即为原方程的解.
(4)根据(3)小问的方法,将原式转化为x2+3x﹣1>,作图找交点即可(注意讨论x与0的大小关系).
解:(1)如图1中,观察图形可知:不等式ax+b>的解集为x>1或﹣3<x<0.
故答案为:x>1或﹣3<x<0.
(2)函数y3=x2+3x﹣1的图形如图所示:
(3)观察图象可知,两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3,﹣1,1.
经过检验可知:点(﹣3,﹣1),点(﹣1,﹣3),点(1,3)是两个函数的交点坐标,
满足y3=y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1.
故答案为﹣3或﹣1或1.
(4)观察图象,当x>0时,不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1>的解集为x>1,
当x<0时,不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1<的解集为x<﹣3或﹣1<x<0,
∴不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集为x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
故答案为x>1或x<﹣3或﹣1<x<0.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知的直角顶点,斜边在轴上,且点的坐标为,点是的中点,点是边上的一个动点,抛物线过,,三点.
(1)当时,
①求抛物线的解析式;
②平行于对称轴的直线与轴,,分别交于点,,,若以点,,为顶点的三角形与相似,求点的值.
(2)以为等腰三角形顶角顶点,为腰构造等腰,且点落在轴上.若在轴上满足条件的点有且只有一个时,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图1,已知抛物线过点.
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;
(2)设点D是x轴上一点,当时,求点D的坐标;
(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,和的面积分别为,求的最大值.
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【题目】一方有难,八方支援.已知甲、乙两地急需一批物资,其中甲地需要240吨,乙地需要260吨.A、B两城市通过募捐,很快筹集齐了这种物资,其中A城市筹到物资200吨,B城市筹到物资300吨.已知从A、B两城市将每吨物资分别运往甲、乙两地所需运费成本(单位:元/吨)如表所示.问:怎样调运可使总运费最少?最少运费为多少元?
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【题目】如图,建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB,从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°,观测旗杆底部点B的仰角为45°.若旗杆的高度AB为3.5米,则建筑物BC的高度约为_____米.(精确到1米,可用参考数据:sin50°≈0.8,tan50°≈1.2)
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【题目】如图甲,在四边形ABCD中,AD//BC,∠C=90°动点P从点C出发沿线段CD向点D运动.到达点D即停止,若E、F分别是AP、BP的中点,设CP=x,△PEF的面积为y,且y与x之间的函数关系的图象如图乙所示,则线段AB长为( )
A.2B.2C.2D.2
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【题目】随着近几年城市建设的快速发展.某市对花木的需求量逐年提高,某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木.根据市场调查与预测,种植树木的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2(万元)与投资量x(万元)的函数关系如图②所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点;AB//x轴)。
(1)求出y1和y2关于投资量x的函数关系式
(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式:
(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时,才能使获取的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,,矩形的边、分别在、上,,,矩形沿射线方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动,当点到达点时,矩形也停止运动,设点的运动时间为,的面积为.
(1)分别写出点到、的距离(用含的代数式表示);
(2)当点不与矩形的顶点重合时,求与之间的函数关系式;
(3)设点到的距离为,当时,求的值;
(4)若在点出发的同时,点从点以每秒个单位长度的速度向终点A运动,当点停止运动时,点与矩形也停止运动,设点关于的对称点为,当的一边与的一边平行时,直接写出线段的长.
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【题目】某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数,数据如下:
20 | 21 | 19 | 16 | 27 | 18 | 31 | 29 | 21 | 22 |
25 | 20 | 19 | 22 | 35 | 33 | 19 | 17 | 18 | 29 |
18 | 35 | 22 | 15 | 18 | 18 | 31 | 31 | 19 | 22 |
整理上面数据,得到条形统计图:
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示:
统计量 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
数值 | 23 | m | 21 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上表中众数m的值为 ;
(2)为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据 来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)
(3)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数.
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