Question

2．观察下面一列分式：$\frac{1}{x}$，-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，$\frac{1}{4{x}^{3}}$，-$\frac{1}{8{x}^{4}}$，…
（1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？
（2）根据你发现的规律写出第n个分式．

Answer 1

分析 （1）按要求分别进行计算，得到商都是-$\frac{1}{2x}$；
（2）先看分式的符号，第一个+，第二个-，依次可以看作（-1）ⁿ⁺¹，分母的系数是1、2、4、8、都是2的幂；分母中x项，依次为x、x²、x³、x⁴…，得出第n个分式．

解答 解：（1）-$\frac{1}{2x2}÷\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{2x}$，$\frac{1}{4{x}^{3}}$÷（-$\frac{1}{2{x}^{2}}$）=-$\frac{1}{2x}$，-$\frac{1}{8{x}^{4}}$÷$\frac{1}{4{x}^{3}}$=-$\frac{1}{2x}$，…，
发现：一个分式与它前一个分式的商，都是-$\frac{1}{2x}$；
（2）第1个分式：$\frac{1}{x}$，
第2个分式：-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
第3个分式：$\frac{1}{4{x}^{3}}$，
第4个分式：-$\frac{1}{8{x}^{4}}$，
…
第n个分式：$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n-1}{x}^{n}}$．

点评 本题考查了分式的定义、分式的除法和数字类的规律问题，分式的除法运算，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算，对于分式中的规律问题，分解为三个问题考虑：分式的符号、分子、分母；把各个规律结合在一起，得出结论即可．