Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BC=6，直线MN∥BC，且分别交边AB，AC于点M，N，已知直线MN将△ABC分为△AMN和梯形MBCN面积之比为5：1的两部分，如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么BD=_____．

Answer 1

【答案】3±

【解析】过点A作AE⊥BC于点E，由AB=AC、∠A=60°，可得出△ABC为等边三角形，进而可得出BE、AE的长度，由MN∥BC可得出△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质结合直线MN将△ABC分为△AMN和梯形MBCN面积之比为5：1的两部分，可求出AM的长度，由旋转的性质可得出AD的长度．在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的长度，再根据BD=BE±DE，即可求出BD的长度．

过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC为等边三角形，∴BE=CE=BC=3，AE=BC=3．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴=（）2．

∵直线MN将△ABC分为△AMN和梯形MBCN面积之比为5：1的两部分，∴=（）2=，即（）2=，解得：AM=，∴AD=AM=．

在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=，AE=3，∴DE=，∴BD=BE±DE=3±．

故答案为：3±．