Question

13．（1）如图1，纸片?ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为C
A．平行四边形     B．菱形     C．矩形      D．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．
①求证：四边形AFF'D是菱形；
②求四边形AFF'D的两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的判定方法即可判定；
（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；
②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；

解答 （1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=CE′，
∴AD∥EE′，AD=EE′，
∴四边形AEE′D是平行四边形，
∵∠AEE′=90°，
∴四边形AEE′D是矩形，
故选C．

（2）如图2中，

①证明：∵AD=5，S_□ABCD=15，
∴AE=3．
又∵在图2中，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF═5．
∴AF=AD=5，
又∵AF∥DF'，AF=DF，
∴四边形AFF'D是平行四边形．
∴四边形AFF'D是菱形．
②解：连接AF'，DF，
在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E-EF=5-4=1，DE'=3，
∴DF═$\sqrt{E′{D}^{2}+E′{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，
∴AF'═$\sqrt{A{E}^{2}+EF{′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．