Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．求∠APB的度数．

Answer 1

分析：把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B，根据旋转的性质可得AP′=AP，P′B=PC，∠PAP′=60°，然后判定△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠APP′=60°，PP′=PA，再利用勾股定理逆定理求出△BPP′是直角三角形并得到∠BPP′=90°，然后根据∠APB=∠APP′+∠BPP′代入数据进行计算即可得解．

解答：解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B，
由旋转的性质，AP′=AP，P′B=PC=10，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′²+PB²=6²+8²=100=P′B²，
∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°，
故∠APB的度数是150°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握旋转的性质作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键．