Question

20．P为长方形ABCD内一点，PA：PB：PC=2：3：4，PD=$\sqrt{11}$，则长方形ABCD的面积为$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$+2$\sqrt{15}$+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PE⊥AD于E，交BC于F，则AD=BF，DE=CF，设PA=2k，PB=3k，PC=4k，根据勾股定理证出PA²+PC²=PB²+PD²，得出方程，解方程求出PA、PB、PC，设AE=BF=m，DE=CF=n，PE=x，PF=y，根据勾股定理得出方程组，解方程组求出x、y、m、n，得出AB、BC，即可求出长方形ABCD的面积．

解答 解：作PE⊥AD于E，交BC于F，如图所示：
则AE=BF，DE=CF，
设PA=2k，PB=3k，PC=4k，
根据勾股定理得：PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²=BF²+PE²+PF²+DE²=PB²+PD²，
∴（2k）²+（4k）²=（3k）²+（$\sqrt{11}$）²，
解得：k=1，
∴PA=2，PB=3，PC=4，
设AE=BF=m，DE=CF=n，PE=x，PF=y，
根据勾股定理得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{x}^{2}=4}&{\;}\\{{n}^{2}+{x}^{2}=11}&{\;}\\{{m}^{2}+{y}^{2}=9}&{\;}\\{{y}^{2}+{n}^{2}=16}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}&{\;}\\{y=\sqrt{6}}&{\;}\\{m=\sqrt{3}}&{\;}\\{n=\sqrt{10}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴AB=x+y=1+$\sqrt{6}$，BC=m+n=$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$，
∴长方形ABCD的面积=AB•BC=（1+$\sqrt{6}$）（$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$+2$\sqrt{15}$+3$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$+2$\sqrt{15}$+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了长方形的性质、勾股定理、解方程、解方程组、长方形面积的计算；熟练掌握长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．