如图1.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.AB=4.矩形OBDC的边CD=1.延长DC交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式,(2)如图2.点P是直线EO上方抛物线上的一个动点.过点P作y轴的平行线交直线EO于点G.作PH⊥EO.垂足为H．设PH的长为l.点P的横坐标为m.求l与m的函数关系式.并求出l的最大值,(3)如果点N是抛物线对称轴上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图1，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．

解答解：
（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（-3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{9a-3b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2；

（2）在y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2中，令y=2可得2=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，解得x=0或x=-2，
∴E（-2，2），
∴直线OE解析式为y=-x，
由题意可得P（m，-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，-m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2-（-m）=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+2=-$\frac{2}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49}{24}$，
∵直线OE解析式为y=-x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[-$\frac{2}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49}{24}$]=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49\sqrt{2}}{48}$，
∴当m=-$\frac{1}{4}$时，l有最大值，最大值为$\frac{49\sqrt{2}}{48}$；

（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFN=∠AOC}\\{∠FNM=∠ACO}\\{MN=AC}\end{array}\right.$
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
∴抛物线对称轴为x=-1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=-4，
当x=2时，y=-$\frac{10}{3}$，当x=-4时，y=$\frac{10}{3}$，
∴M点坐标为（2，-$\frac{10}{3}$）或（-4，-$\frac{10}{3}$）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（-3，0），C（0，2），
∴K（-$\frac{3}{2}$，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为-1，
设M点横坐标为x，
∴x+（-1）=2×（-$\frac{3}{2}$）=-3，解得x=-2，此时y=2，
∴M（-2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，-$\frac{10}{3}$）或（-4，-$\frac{10}{3}$）或（-2，2）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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