Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9．点P、Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T．若T=17，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；
（2）连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12-4x，故可得出x的值，进而得出结论；
（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤$\frac{9}{8}$；$\frac{9}{8}$＜x＜3两种情况进行分类讨论．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12．
∵$\frac{PC}{BC}$=$\frac{3x}{9}$=$\frac{x}{3}$，$\frac{QC}{AC}$=$\frac{4x}{12}$=$\frac{x}{3}$，
∴$\frac{PC}{BC}$=$\frac{QC}{AC}$．
∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB；

（2）解：连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=12-4x，
∴12-4x=2x，解得x=2，
∴CP=3x=6．

（3）解：当点E在AB上时，
∵PQ∥AB，
∴∠DPE=∠PGB．
∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，
∴∠B=∠PGB，
∴PB=PG=5x，
∴3x+5x=9，解得x=$\frac{9}{8}$．
①当0＜x≤$\frac{9}{8}$时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤$\frac{27}{2}$；
②当$\frac{9}{8}$＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足为H，
∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，
∴$\frac{GH}{ED}$=$\frac{PG}{PE}$=$\frac{PH}{PD}$．
∵PG=PB=9-3x，
∴$\frac{GH}{4x}$=$\frac{9-3x}{5x}$=$\frac{PH}{3x}$，
∴GH=$\frac{4}{5}$（9-3x），PH=$\frac{3}{5}$（9-3x），
∴FG=DH=3x-$\frac{3}{5}$（9-3x），
∴T=PG+PD+DF+FG=（9-3x）+3x+$\frac{4}{5}$（9-3x）+[3x-$\frac{3}{5}$（9-3x）]
=$\frac{12}{5}$x+$\frac{54}{5}$，
此时，$\frac{27}{2}$＜T＜18．
∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，
∴T=12时，即12x=12，解得x=1；
T=16时，即$\frac{12}{5}$x+$\frac{54}{5}$=16，解得x=$\frac{13}{6}$．
∵12≤T≤16，
∴x的取值范围是1≤x≤$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质，角平分线，方程，一次函数等知识，在解答（3）时能正确进行分类讨论是解题的关键．