Question

如图，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：

（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图3所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，
如图（1）所示，∵MN是BC的中垂线，
∴PA=PD，PC=PB，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，
即，
∴△PAC≌△PDB（SSS），

（2）证明：过点P作KG∥BC，如图（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²
同理，PC²=CG²+PG²；PB²=BK²+PK²，PD²=+DG²+PG²
PA²+PC²=AK²+PK²+CG²+PG²，PB²+PD²=BK²+PK²+DG²+PG²
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK²=DG²，CG²=BK²
∴PA²+PC²=PB²+PD²

（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）
∴BC=4，AB=2，
∴S_矩形ABCD=4×2=8，
直线HI垂直BC于点I，交AD于点H，
当点P在直线AD与BC之间时，
S_△PAD+S_△PBC=BC•HI=4，
即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4-x，
当点P在直线AD上方时，S_△PBC-S_△PAD=BC•HI=4，
而y与x的函数关系式为y=4+x，
当点P在直线BC下方时，S_△PAD-S_△PBC=BC•HI=4，
y与x的函数关系式为y=x-4．
分析：（1）利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可；
（2）利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出AK²=DG²，CG²=BK²，即可得出答案；
（3）结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时，以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时，分别求出即可．
点评：此题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定以及分类讨论思想应用，根据已知得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键．